Fourier 變換
Fourier transform。FT$ {\cal F}\lbrack f\rbrack。$ \hat f
絶對可積分函數$ f:\R\to\Complex,$ f\in L^1(\R)に對して
$ \hat f(\xi):=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi ix\xi}dx。$ {\cal F}\lbrack f\rbrack(\xi)とも書く
規準 (norm)を正規化するなら係數として$ \frac 1{\sqrt 2}を掛ける。指數の內の$ 2\piも係數として省略してもよい 疊み込みを Hilbert 空閒での內積と見れば$ \hat f(\xi)=\braket{f(x)|e^{-ix\xi}} 逆變換$ f(x)=\int_{-\infty}^\infty\hat f(\xi)e^{2\pi ix\xi}d\xi
調和解析 (harmonic analysis)
逆變換は、$ \nuを$ \hat G上の Haar 測度として、$ f(x)=\int_{\hat G}\hat f(\chi)\chi(x)d\nu(\chi)と定められる 實數直線上の素性の良い複素數値周期函數は Fourier 級数展開を持ち、そのような函數はそのフーリエ展開から復元することができる。 實數直線上の素性の良い複素數値函數は、おなじく數直線上で定義される函數としての Fourier 變換を持ち、周期函數におけると同樣に、そのような函數はその Fourier 變換から復元することができる。 The Banach space$ A=L^1(\R)is a Banach algebra under the convolution, the group algebra of$ \R. Then$ \Phi_Ais homeomorphic to$ \Rand the Gelfand transform of$ f\in L^1(\R)is the Fourier transform$ \hat f. Similarly, with$ A=L^1(\R_+), the group algebra of the multiplicative reals, the Gelfand transform is the Mellin transform.
積分變換 (integral transform。積分作用素)
$ (Tf)(u)=\int_{t_1}^{t_2}K(t,u)f(t)dt
對稱核の場合の逆變換$ f(t)=\int_{u_1}^{u_2}K^{-1}(u,t)((Tf)(u))du
核
$ ({\cal F}f)(x)=\int_{\R^n}e^{2\pi i\Phi(x\xi)}a(x,\xi)\hat f(\xi)d\xi
線形正準變換 (LCT。linear canonical transform)
實 Fourier 級數$ \frac{a_0}2+\sum^\infty_{k=1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx),$ a_n:=\frac 1\pi\int^\pi_{-\pi}f(t)\cos nt~dt,$ n\in\N,$ b_n:=\frac 1\pi\int^\pi_{-\pi}f(t)\sin nt~dt,$ n\in\N^+
複素 Fourier 級數$ \lim_{m\to+\infty}\sum^m_{n=-m}c_n e^{inx},$ c_n:=\frac 1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)e^{-int}dt
$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{ixn}を Fourier 變換すると、$ \hat f(\xi)=\braket{f,e^{ix\xi}}は$ \xi\in\Zに於いて$ \begin{cases}0 & \xi=n \\ {c_n}^2 & \xi\ne n\end{cases}となる。卽ち$ \hat f(\xi)は Fourier 級數の係數を取り出してゐる 正弦變換 (sine transform)
奇函數に對して$ F(\omega)=-i\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty f(t)\sin\omega t~dt,$ f(t)=i\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\sin\omega t~d\omega
餘弦變換 (cosine transform)
偶函數に對して$ F(\omega)=\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty f(t)\cos\omega t~dt,$ f(t)=\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\cos\omega t~d\omega
離散時閒短時閒 Fourier 變換
量子 Fourier 變換 (QFT。quantum Fourier transform)
離散
高速 Fourier 變換 (FFT。fast Fourier transform)
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
グラフフーリエ變換
※複素函數の Laplacian$ \nabla^2=\frac{d^2}{dx^2}の固有 vectorは$ e^{xi\xi}。$ \nabla^2 e^{xi\xi}=-\xi^2 e^{xi\xi} wavelet
wavelet 變換 (wavelet transformation)
多重解像度解析 (MRA。multiresolution analysis)
framelet
單純かざぐるま framelet