Fourier 變換
Fourier transform。FT$ {\cal F}\lbrack f\rbrack。$ \hat f
絶對可積分函數$ f:\R\to\Complex,$ f\in L^1(\R)に對して
$ \hat f(\xi):=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi ix\xi}{\rm d}x。$ {\cal F}\lbrack f\rbrack(\xi)とも書く
規準 (norm)を正規化するなら係數として$ \frac 1{\sqrt 2}を掛ける。指數の內の$ 2\piも係數として省略してもよい 疊み込みを Hilbert 空閒での內積と見れば$ \hat f(\xi)=\braket{f(x)|e^{-ix\xi}} 逆變換$ f(x)=\int_{-\infty}^\infty\hat f(\xi)e^{2\pi ix\xi}{\rm d}\xi
調和解析 (harmonic analysis)
逆變換は、$ \nuを$ \hat G上の Haar 測度として、$ f(x)=\int_{\hat G}\hat f(\chi)\chi(x)d\nu(\chi)と定められる 實數直線上の素性の良い複素數値周期函數は Fourier 級數展開を持ち、そのような函數はそのフーリエ展開から復元することができる。 實數直線上の素性の良い複素數値函數は、おなじく數直線上で定義される函數としての Fourier 變換を持ち、周期函數におけると同樣に、そのような函數はその Fourier 變換から復元することができる。 The Banach space$ A=L^1(\R)is a Banach algebra under the convolution, the group algebra of$ \R. Then$ \Phi_Ais homeomorphic to$ \Rand the Gelfand transform of$ f\in L^1(\R)is the Fourier transform$ \hat f. Similarly, with$ A=L^1(\R_+), the group algebra of the multiplicative reals, the Gelfand transform is the Mellin transform.
積分變換 (integral transform。積分作用素)
$ (Tf)(u)=\int_{t_1}^{t_2}K(t,u)f(t)dt
對稱核の場合の逆變換$ f(t)=\int_{u_1}^{u_2}K^{-1}(u,t)((Tf)(u))du
核
$ ({\cal F}f)(x)=\int_{\R^n}e^{2\pi i\Phi(x\xi)}a(x,\xi)\hat f(\xi)d\xi
線形正準變換 (LCT。linear canonical transform)
實 Fourier 級數$ \frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),$ a_n:=\frac 1\pi\int^\pi_{-\pi}f(t)\cos nt~{\rm d}t,$ n\in\N,$ b_n:=\frac 1\pi\int^\pi_{-\pi}f(t)\sin nt~{\rm d}t,$ n\in\N^+
複素 Fourier 級數$ \lim_{m\to+\infty}\sum^m_{n=-m}c_n e^{inx}=\lim_{m\to+\infty}\sum^m_{n=-m}c_n(\cos nx+i\sin nx),$ c_n:=\frac 1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)e^{-int}{\rm d}t
$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{ixn}を Fourier 變換すると、$ \hat f(\xi)=\braket{f,e^{ix\xi}}は$ \xi\in\Zに於いて$ \begin{cases}0 & \xi=n \\ {c_n}^2 & \xi\ne n\end{cases}となる。卽ち$ \hat f(\xi)は Fourier 級數の係數を取り出してゐる $ F(\xi)=\frac 1{\sqrt 2}\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi ix\xi}{\rm d}x,$ f(x)=\frac 1{\sqrt 2}\int_{-\infty}^\infty F(\xi)e^{2\pi ix\xi}{\rm d}\xi
正弦變換 (sine transform)
奇函數に對して$ F(\omega)=-i\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty f(t)\sin\omega t{\rm d}t,$ f(t)=i\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\sin\omega t{\rm d}\omega
餘弦變換 (cosine transform)
偶函數に對して$ F(\omega)=\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty f(t)\cos\omega t{\rm d}t,$ f(t)=\sqrt{\frac 2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\cos\omega t{\rm d}\omega
離散時閒短時閒 Fourier 變換
離散
離散 cosine 變換 (DCT-Ⅰ)
$ X_k=\frac 1 2 x_0+\sum_{n=1}^{N-2}\cos\left(\frac\pi{N-1}nk\right)+\frac{{(-1)}^k}2 x_{N-1}
境界條件
$ x_0偶對稱、$ x_{N-1}偶對稱。abc→cbabcba
$ X_0偶對稱、$ X_{N-1}偶對稱
$ X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos\left(\frac\pi N\left(n+\frac 1 2\right)k\right)
境界條件
$ x_{-\frac 1 2}偶對稱、$ x_{N-\frac 1 2}偶對稱。abc→cbaabccba
$ X_0偶對稱、$ X_N奇對稱
離散 cosine 變換 (DCT--Ⅲ)
$ X_k=\frac 1 2 x_0+\sum_{n=1}^{N-1}x_n\cos\left(\frac\pi N n\left(k+\frac 1 2\right)\right)
境界條件
$ x_0偶對稱、$ x_N奇對稱。abc→cbabc-b-c
$ X_{-\frac 1 2}偶對稱、$ X_{N-\frac 1 2}偶對稱
離散 cosine 變換 (DCT--Ⅳ)
$ X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos\left(\frac\pi N\left(n+\frac 1 2\right)\left(k+\frac 1 2\right)\right)
境界條件
$ x_{-\frac 1 2}偶對稱、$ x_{N-\frac 1 2}奇對稱。abc→cbaabccba
$ X_{-\frac 1 2}偶對稱、$ X_{N-\frac 1 2}奇對稱
修正離散 cosine 變換 (MDCT) (modified discrete cosine transform)
グラフフーリエ變換
wavelet
wavelet 變換 (wavelet transformation)
多重解像度解析 (MRA。multiresolution analysis)
framelet
本論文では、多重解像度解析 (MRA) によって構築されるウェーブレットフレームについて論じる。特に、タイトなウェーブレットフレームに重點を置いて考察する。具體的には、フレームレットおよびタイトフレームレットを構築するための一般原理と具體的なアルゴリズムを確立し、これらがスプライン函數、擬似スプライン函數によるタイトフレーム、および短いサポートと高い近似次數を有する對稱バイフレームの體系的な構築にどのように利用可能であるかを示す。いくつかの明示的な具體例についても詳細に檢討する。さらに、これらのフレームと多重解像度解析との關聯性により、高速實裝アルゴリズムの存在が保證される點についても簡潔に論じる。
單純かざぐるま framelet
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